Dichte

Begriffe, Geräte, Messung und Berechnung

Sie finden auf dieser Seite Beiträge zum Themenkreis "Dichte" - Definitionen, hydrostatischen Flüssigkeits-Dichtemessung durch die Bestimmung des Auftriebs einer exakten Kugel in einer thermostatisierten Messzelle (IMETER M8)Zusammenhänge, Einflüsse und Beschreibungen der Messmethoden teilweise unter Angaben einschlägiger Normen. Auf dieser Seite versuchen wir alles Wesentliche in Zusammenhang mit der Messung der Dichte aktuell darzustellen. Sie können uns dabei helfen und auf Korrekturen oder Fehlendes aufmerksam machen.

1.  Dichte 

Die Dichte (Massedichte, spezifische Masse, density), Formelzeichen ρ (rho), ist der Quotient aus Masse m und Volumen V (ρ=m/V), d.h. "Masse pro Volumen". Die Dichte ist der Zahlenwert der Massenkonzentration. Die gesetzliche Einheit ist kg/m³, gebräuchlich ist auch g/cm³. Der Kehrwert der Dichte 1/ρ heißt spezifisches Volumen (specific volume). Früher verwendete und verwandte Bezeichnungen im Zusammenhang mit der Dichte sind: Dichtigkeit, Wichte, Artgewicht und spezifisches Gewicht.  Die Wichte, Formelzeichen γ (gamma), ist der Quotient aus der Gewichtskraft G und dem Volumen V eines Körpers bzw. einer Stoffmenge (γ = G/V). Die Wichte lässt sich darstellen als Produkt aus der Dichte ρ eines Körpers und der lokalen Fallbeschleunigung g, also: γ = ρ·g. Unter den Synonymen ρ_n Dichtezahl, relative Dichte versteht man das Verhältnis der Masse eines Körpers zur Masse einer volumengleichen Menge einer Standardsubstanz ρ₀. Standardsubstanz ist zumeist Wasser bei 4°C oder auch Quecksilber (ρ_n=ρ/ρ₀). Durch diese lokal realisierbaren Standardbezüge wird das Problem von der Ortsabhängigkeit der Fallbeschleunigung (Schwerkraft) umgangen, außerdem ist der dimensionslose Zahlenwert auch in allen nichtmetrischen Einheiten der Welt vergleichbar (specific gravity). Einheit von Wichte und spezifischem Gewicht war p/cm³ (p=Pond). Falls die Fallbeschleunigung der Normal-Fallbeschleunigung entspricht, sind Werte für Wichte in p/cm³ und Dichte in g/cm³ zahlengleich. Zu erwähnen ist, dass spezifisches Gewicht heute noch oft als äquivalenter Ausdruck für Dichte gebraucht wird. Die Dichte ist druck- und temperaturabhängig. Die Temperaturabhängigkeit wird durch den Ausdehnungskoeffizienten, die Druckabhängigkeit durch die Kompressibilität bzw. bei Feststoffen durch das Kompressionsmodul ausgedrückt. Eine präzise Dichteangabe, insbesondere für fluide Stoffe, umfasst unbedingt die Nennung der zugehörigen Temperatur. Die Druckabhängigkeit der Dichte im Schwankungsbereich des Normaldruckes ist – außer bei Gasen – unbedeutend.

Als analytische Kenngröße ist die Dichte bedeutend, weil sie als Summenparameter über eine Stoffmenge insgesamt Aussagen liefert. Die Flüssigkeitsdichte wird zu verschiedenen Zwecken in entsprechender Präzision gemessen, z.B. für Gehaltsmessungen und Konzentrationsbestimmungen (Schwefelsäure, Zucker-, Alkohol). Die spektroskopische und chromatographische Analytik erlaubt die Quantifizierung von Nebenprodukten. Die Dichte bei reinen Stoffen und binären Mischungen hingegen ermöglicht eine sehr genaue Gehaltsangabe. Für Qualitätsaussagen (Mineralöle, Milch,...), als Reinheitsindiz, zur Identifikation, als veränderliche, Stoffumsatz anzeigende Größe, zu kinetischen Aussagen (Reaktionsgeschwindigkeit), als Basisgröße in physikalischen Rechnungen bzw. Simulationen oder einfach zur Klärung, wie viel Stoff ein Volumen enthält, erfolgt die Maßgabe durch die Dichte.

(Feststoffe:) Zum Begriff der Dichte, mit dem im engeren Sinne die Reindichte (absolute Dichte, wahre Dichte) eines Stoffes gemeint ist, wird bei Feststoffen in der Regel die scheinbare Dichte bzw. die Rohdichte gemessen. Bei einem idealen Kristall, dessen Atomarten und Gitterabstände bestimmt sind, sind die kristallografisch ermittelte Reindichte und die (z.B. hydrostatisch exakt) gemessene Dichte gleich. Gitterfehler (Fehlordnungen, Fehlstellen) verringern die Dichte im Bezug auf die Reindichte des Stoffes. Größer werdende Gefügefehler führen schließlich zu einer Porosität, die je nach  Messmethode, d.h. (Gas-)Pyknometerischer oder hydrostatischer Methode, zu unterschiedlichen Dichtewerten führen, weil Messgase oder -fluide verschieden tief porengängig sind. Bei Feststoffen können Relaxationseffekte und mechanische Spannungen die Dichte verändern. Bei holraumhaltiger Materie interessiert, bedingt durch den technischen Gebrauch, die Schüttdichte (Pulver, Haufwerke: Dichte einer lockeren Schüttung) und die Stampfdichte (nach einer spezifischen Verdichtung eines Haufwerks) bzw. Stopfdichte (bei Textilien, Schaumstoffen etc.). Das Verhältnis von komprimierter und unkomprimierter Rohdichte wird bei Pulvern Hausner-Faktor genannt.

2. Ausdehnungskoeffizient

Mit zunehmender Temperatur vergrößert sich das Volumen von festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen, d.h. die Dichte der Stoffe nimmt mit steigender Temperatur ab.

In Abb.1 ist am Beispiel von Kraftstoffen die deutliche Abhängigkeit der Dichte von der Temperatur zu erkennen. Vom Normalfall, also der ziemlich linearen Dichteabnahme mit der Temperatur, gibt es Ausnahmen. Zu diesen zählen: Wasser zwischen dem Gefrierpunkt und 4°C (Anomalie des Wassers [Abb. 2, rechts]), spezielle Glaskeramiken (z.B. Zerodur®), β-Quarz, β-Eukrypt, gewisse Kohlefasermaterialien sowie sphärische Körper spezieller Morphologie (►dokumentierter Sonderfall).

Ursache der thermischen Materieausdehnung ist der zunehmende Raumbedarf der Teilchen bei steigender Temperatur. In physikalischer Formulierung ist der Raumausdehungskoeffizient κ:

κ = 1/V· dV/dT

Der Wert von κ (kappa) kann für grobe Berechnungen über ein gewisses Temperaturintervall als genügend konstant angenommen werden. Teflon (PTFE) bei 19°C ist bezüglich der Linearität eine klassische Ausnahme (vgl. Abb.6 weiter unten). Der Koeffizient κ heißt korrekt kubischer thermischer isobarer Ausdehnungskoeffizient. Verkürzt spricht man vom kubischen Ausdehnungskoeffizienten oder auch vom Raumausdehnungskoeffizienten. Während üblicherweise κ für Fluide angegeben wird, findet sich für Feststoffe normalerweise der lineare thermische isobare Ausdehnungskoeffizient (α, alpha). Die gebräuchliche Einheit für α ist 10^-6K^-1. Dazu ist der äquivalente Ausdruck "µm·m^-1·K^{-1 "}, der bedeutet, dass Temperaturänderungen von einem Grad Längenänderung von α Mikrometern an einem 1 Meter langen Stab bewirken. Für Flüssigkeiten ist die Wärmedehnung deutlich größer, und der Wert wird als Raumausdehnungskoeffizient κ in vielfachen von 10^-5K^-1 angegeben.

Bei Kochsalz (NaCl) ist α in allen drei Raumrichtungen gleich und beträgt α_x = α_y =  α_z = 40 µm·m^-1·K^-1. Bei Calzit (CaCO₃) hingegen, ist α in zwei Raumrichtungen negativ α_x = α_y = -6 µm·m^‑1·K^‑1 und in der dritten positiv, α_z = 26 µm·m^‑1·K^-1, so dass ein Ausdehnungsplus überwiegt. Bei β-Eukrypt (LiAlSiO₄) mit α_x = α_y =7.8 und α_z = -17.8 µm·m^-1·K^‑1, d.h. es überwiegt die negative Ausdehnung; bei Aragonit (chemisch ebenfalls CaCO₃) ist α in allen drei Raumrichtungen verschieden: α_x =10, α_y = 16,   α_z = 33 µm·m^-1·K^-1.

Der lineare Ausdehnungskoeffizient α kann darum für Feststoffe nicht sicher aus  α = κ / 3  angegeben werden. Da (Teil-)Kristalline, nicht-amorphe, gereckte oder verstreckte Materialien längs einer Orientierung oft verschiedene α haben (α_x, α_y, α_z) als quer zu ihr. Bei Feststoffen ist "κ =3α", wie an den Beispielen gezeigt, zumindest riskant.
Mit zunehmender Temperatur steigt der Ausdehnungskoeffizient an, da "die anharmonischen Wechselwirkungspotentiale im atomaren Modell mit zunehmendem Teilchenabstand flacher aus dem Potentialminimum ansteigen. Bei der Schmelztemperatur (T_s) ist die Potentialkurve weitgehend abgeflacht". D.h. der mit der Temperatur zunehmende mittlere Teilchenabstand steigt bei höherer Temperatur überproportional an. In der Regel haben mechanisch weiche Feststoffe große Koeffizienten (Härte~1/κ). Die Zunahme der Wärrmedehnung mit der Temperatur ist bei Flüssigkeiten die Regel, bei Feststoffen finden sich Ausnahmen (vgl. Abb. 5a). Die Grüneisen'sche Regel besagt, das Verhältnis von Ausdehnungskoeffizient und Wärmekapazität ist für ein Material eine temperaturunabhängige Konstante.

Die in den Tabellen rechts aufgelisteten Einträge geben eine Übersicht zur Unterschiedlichkeit dieser Koeffizienten für feste und flüssige Stoffe. Der Wert von κ ist für Festkörper, wenn man von Kunststoffen absieht, grob eine Größenordnung kleiner und für Gase etwa 3 bis 10 x größer als bei Flüssigkeiten.

Geräte zur Bestimmung von κ werden Dilatometer genannt. Bei Feststoffen wird der lineare Ausdehnungskoeffizient oft direkt aus interferometrisch genau messbaren Längenänderungen bestimmt. Bei κ-Messungen an Flüssigkeiten ist die Apparatur nach Dulong-Petit sehr anschaulich: In einem mit der Flüssigkeit gefüllten U-Rohr sind die Schenkel verschieden temperiert. Aus ΔT und dem Niveauunterschied der Flüssigkeit in beiden Schenkeln ergibt sich κ. Mit IMETER wird κ für fluide und feste Körper in den IMETER Methodenmodulen ►M8 und ►M9 aus der bei verschiedenen Temperaturen hydrostatisch bestimmten Dichte berechnet.
Der kubische Ausdehnungskoeffizient kann über zwei Dichtemesswerte bei verschiedenen Temperaturen gemäß κ ≈ -Δϱ / ϱ·ΔT berechnet werden. Richtiger als über den Differenzenquotienten ist mit κ = -1/ρ·(∂ρ/∂T) anzusetzen. D.h. so kann direkt aus einer Funktionsgleichung für die Temperaturabhängigkeit der Dichte, die Gleichung für die Bestimmung des Ausdehnungskoeffizienten analytisch berechnet werden. Es wird also die Funktion für κ(T) aus der Funktion zur Temperaturabhängigkeit der Dichte und ihrer mathematischen Ableitung bestimmt. Praktisch funktioniert dies bei Flüssigkeit über ρ(T) problemlos, da der Werteverlauf hier immer durch ein einfaches Polynom beschrieben werden kann.

Abb.4: Temperaturabhängigkeit der Ausdehnungskoeffizienten der verschiedenen Kraftstoffe (vgl. Diagramm Abb.1 oben entsprechende Dichteverläufe) und n-Dodekan als Vergleich.

Flüssigkeitsdichtetabelle unten: Die Angaben in den Tabellen stammen aus verschiedenen Quellen und sind ohne Gewähr.  (Dichtedaten großteils aus [Lit.12], Mit * sind Messungen von IMETER an individuellen Proben gekennzeichnet; PDF-Doku als Link.)

Abb.5: Wasser/Salzwasser - Ausdehnungskoeffizienten in Temperaturabhängigkeit - aus Dichtemessungen an Wasser mit 3%, 2% und 1% Kochsalz, Leitungswasser (aus Augsburg) und reines Wasser. Der Nulldurchgang gibt die Temperatur des jeweiligen Dichtemaximums an (d.i. der Parabelscheitel im Dichte-Temperaturverlauf => Abb.2 und Abb.3).

Abb.5a: Temperaturabhängigkeit des kubischen Ausdehnungskoeffizienten bei (einem) Bytylkauschuk: Der große Wert ist für weiche Kunststoffe typisch, Die Abnahme im Temperaturverlauf kann der zunehmenden Härte (Gummieleastizität) zugeschrieben werden.

Feststoffdichtetabelle: Die Angaben in den Tabellen stammen aus verschiedenen Quellen und sind ohne Gewähr. Insbesondere die Widersprüchlichkeit der Werte für κ bzw. α in der Literatur ist  anzumerken. Mit * sind Messungen von IMETER an individuellen Materialproben gekennzeichnet; PDF-Doku als Link.

3. Kompressibilität, Kompressionsmodul

Die Kompressibilität (Χ) von Flüssigkeiten drückt deren Volumenelastizität aus. Die Volumenänderung (dV) eines gegebenen Volumens (V) wird durch eine Druckänderung (dV) bewirkt: dV = -Χ·dp·V. Der Proportionalitätsfaktor ist Χ (Chi). Die Kompressibilität von Flüssigkeiten ist gering, sodass Flüssigkeiten oft als inkompressibel angenommen werden. Bei hohen Drucken bzw. sehr genauen Messungen wird diese Eigenschaft spürbar. Wasser hat eine Kompressibilität von 0,5 GPa^-1, Quecksilber 0.04 GPa^-1, Diethylether 1.5 GPa^-1, Pentan 2.5 GPa^-1.  Für Wasser, 100m unterhalb der Oberfläche, führt der hydrostatische Druck (Schwerdruck) (=Dichte*Fallbeschleunigung*Höhe, ρ·g·h) zu einer Volumenverringerung von rd. 0,05%. In Schwebetiefen von 5 cm des Auftriebskörpers bei der hydrostatischen Dichtebestimmung werden 0.2ppm erreicht.

Die Schallgeschwindigkeit v_s verknüpft Dichte ρ und Kompressibilität Χ  n.d.Gl. v_s = [Χ·ρ]^1/2.(Das Kompressionsmodul K für Festkörper entspricht dem Kehrwert der Kompressibilität und kann aus den Elastizitätskonstanten E-Modul und Poisson-Zahl µ berechnet werden: K = E/(3-6µ).)

Während bei Gasen und tropfbaren Flüssigkeiten die Dichte eine Konstante bei jeweiligem Druck (und Temperatur) ist, die sich nach Einwirkung einer Kompression elastisch zurückstellt, findet man bei Festkörpern mitunter andere Verhältnisse. Mit dem Schmieden von Metallen steigt in der Regel die Dichte des Stoffes an. Bei nicht rein-elastischen Materialien, wie etwa dem Polystyrolschaumstoff EPS (Styropor®), ist diese Effekt augenfällig - indem recht einfach bleibende Druckstellen zugefügt werden, die also entsprechend die Dichte erhöhen.

 4. Dichte von Mischungen, Gehaltsbestimmung

Seit jeher wird die Dichtemessung zur Gehaltsbestimmung eingesetzt. Für bestimmte Stoffkombinationen, oft wässrige Lösungen z.B. von Zucker, Alkohol (Ethanol) und mit entsprechend eingemessenen Skalen für Milch, Most (Mostgewicht, Öchsle), Batteriesäure (Schwefelsäure in Bleiakkus) etc., werden verbreitet Spindeln eingesetzt (Aräometer, Hydrometer vgl. nächster Abschnitt). In der Regel entspricht die Dichte einer Mischung etwa den Mengenverhältnissen. Die Mischungsdichte kann für zwei Komponenten in einer einfachen Formel ausgedrückt werden. Mit m₁, dem Masseanteil einer Komponente mit der Dichte ρ₁ und m₂, dem Massenanteil der zweiten Komponente und der Dichte ρ₂, ergibt sich die Gesamtdichte ρ_Ges der binären Mischung zu:
 

    ρ_Ges = (m₁+m₂)/(m₁/ρ₁ + m₂/ρ₂)   = (m₁+m₂)/(V₁ +V₂)

Diese Beziehung gilt für heterogene Gemische mehr oder weniger uneingeschränkt, z.B. für Zucker in Salz, Aktivkohle im Ionentauschergranulat, Stahl in Beton, Luft im Schaumstoff, Sediment in einer Aufschlämmung etc..

Für in Wasser gelöstes Kochsalz (NaCl) gilt die Beziehung lediglich in der Qualität "π·Daumen", denn die Mischungs- bzw. Lösungsdichte ist bei 10% NaCl bereits um nahezu 1.5% größer, als es sich nach der einfachen Formel ergibt. Im Diagramm  (obe n) sind Messdaten zur Dichte von wässrigen Kochsalzlösungen für die Temperaturen 25°C und 50°C abgebildet (Datenherkunft: Rogers, P. S. Z., Pitzer, K. S., J.Phys.Chem Ref. Data, 11, 15 (1982) und aus der ►IMETER Messung ID7277.PDF). Die Abweichung vom linearen Verhalten ist zwar aus der Grafik kaum erkennbar, doch deutlich vorhanden. Mischungen bzw. Lösungen der meisten Flüssigkeiten verhalten sich, wenn genau gemessen wird, ebenso wenig linear. Wobei Mischungen von Essigsäure und Wasser ein extremes Bild zeigen (vgl. Diagramm weiter unten). Wenn Genauigkeit gefordert wird, um über die Dichte definitive Gehaltsbestimmungen anzustellen oder Volumendefekte oder Vergrößerungen (► Hexan/Cyclohexan.pdf) vorhersagen zu können, müssen die Verhältnisse aufgeklärt werden. Dies erfolgt durch exakte Dichtemessungen an mehreren definierten Mischungen und erlaubt dann aus Dichte und Mischungsverhältnissen die Aufstellung einer Kalibrierfunktion. Die folgende Gleichung führt einen spezifischen Faktor in die obige Idealgleichung ein, den MischungskoeffizientenΦ₁₂ :

                      ρ_Ges = (m₁+m₂) / (m₁/(ρ₁·Φ₁₂) + m₂/ρ₂)

Der Mischungskoeffizienten Φ₁₂ :ist allerdings eine Funktion des Mischungsverhältnisses, der aus einer Konzentrationskalibrierung bestimmt wird. Für das Beispiel Kochsalz-Wasser wurde eine entsprechende Messung durchgeführt. Diese liefert für den Koeffizienten bei 25°C die Bestimmungsgleichung:        

Φ_{12 =} 0,4601860 +0,8550176·ρ_Ges -0,3144906·ρ_Ges²

 In den Fällen, bei welchen die Konzentrationsbestimmung aus Dichtemessung erfolgen soll, kann auch eine einfachere Formulierung eingesetzt werden:
          c NaCl[%] = ƒ(ρ[g/cm³])= -197,793 +253,359·ρ -55,1513·ρ²                              (±0,01%)

Bzw. um die Dichte als Funktion der Konzentration vorherzusagen, kann die aus den Messdaten ermittelte Gleichung

           ρ [g/cm³] = ƒ(c[%])= 0,9971057 +6,96858E-3·(c) +2,03622E-5·(c)²                 (±0,0001g/cm³)

angewendet werden. Die Gleichungen gelten für den durchmessenen Konzentrationsbereich zwischn 0,0138 bis 10,1% bzw. für Mischungsdichten zwischen 0,997171 bis 1,069934g/cm³; IMETER erzeugt diese Zusammenhänge in einer Konzentrationsmessung automatisch (vgl.►IMETER Messung IDN°7277.pdf). 

Konzentrationsbestimmungen an Mischungen aus drei Komponenten (ternäre Mischungen) sind auch per Dichtemessung möglich. Beispielsweise könnten die Bestandteile Zucker, Wasser und Ethanol bei alkoholischer Gärung oder Glycerin, Propylenglycol und Wasser als Liquid für EZigaretten in weiten Bereichen bestimmt werden. Dafür wären jedoch zwei Dichtemessungen erfordedrlich. Die Messungen müssen bei verschiedenen Temperaturen erfolgen - und so kann für die Gehaltsbestimmung das entsprechende Gleichungssystem gelöst werden. Entsprechend können Viskosität und Oberflächenspannung, ggf. noch mit deren Temperaturkoeffizienten, herangezogen werden, um die Bestandteile höherer Mischungen physikalisch zu ermitteln.

Im Diagramm (Abb.8)   wird die Ausnahme der Regel gezeigt: Mischungen aus Essigsäure und Wasser. Bei der Dichte über 1.04g/cm³ können einem Dichtewert zwei unterschiedliche Konzentrationen zugeordnet werden (vgl. ►Messung IDN°7575.pdf,►Messung IDN°7576.pdf ).

(Die Ursache für das anomale Verhalten wird deutlich, wenn die Masse% in Mol% umgerechnet wird. Beim molaren Verhältnis 1:1 – bei ca.70% Essigsäure – tritt das Dichtemaximum auf. Die dichteste Packung entspricht dem 1:1 Molekülverhältnis. --- Ein kleiner Zaubertrick: man nimmt ein durchsichtiges Gefäß, das in der Mitte mit einer Trennwand geteilt ist, gibt in die eine Hälfte Essigsäure und in die andere die gleiche Menge 50%igen Essig und in beiden Abteilen ist eine Menge z.B. SAN-Polymergranulat [oder ein anderer Stoff der Dichte von etwa 1.05g/cm³, dem die Säure nichts ausmacht]. Das Granulat liegt in den Gefäßteilen am Boden, da die Dichte des Feststoffs größer ist. Dann zieht man die Trennwand heraus und das Granulat beginnt aufzuschwimmen).

Der Essig-Wasser-Sonderfall ist messtechnisch zur Sensoren- und Messapparateprüfung interessant. Denn für ein und dieselbe Dichte, z.B. 1.05g/cm³ (25°C), gibt es zwei unterschiedliche Konzentrationen: Oberflächenspannungen und Viskositäten. So können entsprechende Anzeigegeräte und deren Querempfindlichkeiten zur Dichte geprüft werden - und umgekehrt.

Die Dichte ist, wenn sie genau bestimmt wird, für nahezu alle binären Mischungen ein hochexaktes Konzentrationsmaß. Andere Methoden, chromatographische oder spektroskopische, erreichen bei Weitem nicht die Exaktheit, die per Dichtemessung möglich ist. Um Konzentrationskalibrierungen richtig durchführen zu können, sind Bestimmungsmethoden erforderlich, die keine Querempfindlichkeit zu Oberflächenspannung und Viskosität aufweisen, denn diese Eigenschaften ändern sich ebenfalls.

 5. Dichte- Bestimmungsmethoden

Messgeräte - Messvorrichtungen - Messverfahren

Messgeräte für die Dichte werden als Dichtemessgeräte, manchmal als Densimeter bezeichnet. Die Dichtemessung mit einem Densitometer jedoch betrifft z.B. die Schwärzung und Farbdichte - also eine andere Dichteart. Zur Bestimmung der Masse-Dichte sind eine Reihe von Geräten und Methoden gebräuchlich: Aräometer, Pyknometer, hydrostatische Wägung, das Schwingungsmessgerät nebst weniger Gebräuchlichem wie dem Schwebeverfahren und der Dichtegradientensäule, die insbesondere für Festkörper verwendet werden.
 

5.1. Aräometer (Spindel, Senkspindel, Senkwaage, Hydrometer) 

Das wahrscheinlich in der Antike schon bekannte Aräometer wurde 1670 von Roberval (wieder-)erfunden.

Heutzutage handelt es sich dabei meist um einen luftgefüllten Glashohlkörper, dessen unteres Ende durch eine gewisse Menge aus Bleischrot, Sand oder Quecksilber beschwert ist. Oben läuft der Hohlkörper in einem schmalen, zylindrischen Hals aus, auf dem eine eingemessene Skala angebracht ist. Je tiefer das Aräometer in die Flüssigkeit eintaucht, desto kleiner ist die Dichte. Im allgemeinen benutzt man in Labors einen Satz von 14 Aräometern, um Dichten zwischen 0.630 und 2.000 g/cm³ zu messen (Messspanne je Spindel 0.1 g/cm³). Die Dichte wird mithilfe eines Standzylinders, in den die Flüssigkeit eingefüllt wird, gemessen. Das Aräometer muss beim Ablesen frei und bewegungslos schweben und die Temperatur muss der Bezugstemperatur des Aräometers entsprechen. Die Messunsicherheit beträgt je nach Spindel typischerweise 1·10^-3 g/cm³ bis bestenfalls 1·10^-4 g/cm³ bei sehr speziellen Ausführungen.

Neben den Spezialformen, die auf die hohe, mittlere oder niedrige Oberflächenspannung des Messgutes eingestellt sind und die Durchsichtig- oder Undurchsichtigkeit berücksichtigen, gibt es auch Spezialaräometer wie Alkoholometer, Milcharäometer und Saccharimeter, die durch eine bestimmte Eichung z.B. ein direktes Ablesen des Prozentgehaltes an der Skala ermöglichen. Außer der Teilung der Skala nach Dichtewerten sind noch andere Skalen in Gebrauch. Es gibt die Unterteilung in Grade Baumé, Cartier, Beck, Brix, Balling, Gay-Lussac und Twaddle. 

 DIN 12790, ISO 387 Aräometer; allgemeine Bestimmungen
DIN 51757 Prüfung von Mineralölen und verwandten Stoffen; Bestimmung der Dichte, Verfahren A
DIN 12791 Teil 1: Dichte-Aräometer; Grundserien, Ausfuehrung, Justierung und Anwendung
Teil 2: Dichte-Aräometer; Normgroessen, Bezeichnungen
Teil 3: Anwendung und Pruefung
ISO 649-2 Laboratory glassware: Density hydrometers for general purpose
NF T 20-050 Chemical products for industrial use - Determination of density of liquids - Areometric method
DIN 12793 Laborgeräte aus Glas: Sucharäometer für Vormessung und rohe Betriebsmessung

5.2. Pyknometer (Volumenwägung, Density Bottle) 

Es ist ein zumeist birnenförmiges Wäge-Fläschchen mit Schliffstopfen, der mit einer Kapillarbohrung versehen ist (=Pyknometer nach Gay-Lussac; andere Formen teilweise wg. Viskosität oder Flüchtigkeit nach Sprengel, Bingham, Reischauer, Lipkin). Der genau definierte Rauminhalt, oft um 10, 25 oder 50 cm³  z.B. mit Wasser genau kalibriert, ist mit der zu prüfenden Flüssigkeit bis zum Ende der Kapillare bei der bestimmten Temperatur zu füllen und dann zu wägen. Während Aräometer vorwiegend für Übersichtsmessungen dienen, werden mit Pyknometern höhere Genauigkeiten erreicht. Je nach Ausführung kann eine Messunsicherheit 1·10^-5 g/cm³ erreicht werden. Die Qualität der Messung ist jedoch sehr von Geschick und Erfahrung des Prüfers abhängig. 

ISO 3507 Pycnometers
DIN 51757 Prüfung von Mineralölen und verwandten Stoffen; Bestimmung der Dichte, Verfahren C
ISO 758 Liquid chemical products; determination of density at 20 C
DIN 12797 Pyknometer nach Gay-Lussac (für nicht besonders viskose, nicht flüchtige Flüssigkeiten)
DIN 12798 Pyknometer nach Lipkin (für Flüssigkeiten mit einer kinematischen Viskosität von weniger als 100,10 6 m2 s 1 bei 15 C)
DIN 12800 Pyknometer nach Sprengel (für Flüssigkeiten wie in DIN 12798)
DIN 12801 Pyknometer nach Reischauer (für Flüssigkeiten mit einer kinematischen Viskosität von weniger als 100,10 6 m2 s 1 bei 20 C; kann insbesondere auf Kohlenwasserstoffe sowie auf Flüssigkeiten mit hohem Dampfdruck - etwa 1 bar bei 90 C - angewendet werden)
DIN 12806 Pyknometer nach Hubbard (für viskose Flüssigkeiten aller Arten, die keinen zu hohen Dampfdruck aufweisen, insbesondere auch für Anstrichstoffe und Bitumen)
DIN 12807 Pyknometer nach Bingham (für Flüssigkeiten wie in DIN 12801)
DIN 12808 Pyknometer nach Jaulmes (insbesondere für Ethanol-Wasser-Gemisch)
DIN 12809 Pyknometer mit eingeschliffenem Thermometer und Seitenkapillaren (für nicht besonders viskose Flüssigkeiten)
DIN 53217 Prüfung von Anstrichstoffen; Bestimmung der Dichte mit dem Pyknometer
ASTM D 2111 (Method C: Halogenated organic compounds)
BS 4699 Method for determination of specific gravity and density of petroleum products (graduated bicapillary pycnometer method)
BS 5903 Method for determination of relative density and density of petroleum products by the capillary-stoppered pycnometer method
NF T 20-053 Chemical products for industrial use - Determination of density of solids in powder and liquids - Pycnometric method

Mit Pyknometern kann auch die Dichte fester Stoffe bestimmt werden. Dabei wird eine Festkörperprobe in ein Pyknometer gegeben, der Rest des Volumens mit einer Flüssigkeit genau bekannter Dichte aufgefüllt und das Ganze gewogen.

Gaspyknometer:    Ein weiteres Verfahren der pyknometrischen Messung beruht auf der Gasverdrängung in einem definierten Raum. Es wird besonders für Festkörperdichtemessungen eingesetzt. Die Reproduzierbarkeit für kommerzielle Gaspyknometer wird bis zu 0,01% angegeben. Unter den IMETER-►Ad-Hoc-Methoden wurde ein ►GasPyknoIMETER entwickelt. Es zeigte sich jedoch, dass Proben mit großer Oberfläche durch adsorbierte Stoffe (Stoffe mit Dampfdruck)  z.B.  durch die Luftfeuchte die Richtigkeit der Messung durch miteingebrachte Druckbeiträge erheblich stören.

5.3.  Hydrostatische Wägung (Auftriebsverfahren, Tauchkörperverfahren, Mohr-Westphalsche Waage)

Der Kern der hydrostatischen Methode ist das Phänomen, dass ein in einer Flüssigkeit untertauchender Körper um soviel leichter erscheint, wie die seinem Volumen entsprechende Flüssigkeitsmenge wiegt. Nach diesem Prinzip funktioniert, wo Schwerkraft herrscht und feste und fluide Materie aufeinander treffen, so ziemlich viel - dass Schiffe schwimmen, Luftschiffe schweben und Steine untergehen. Die hydrostatische Wägung kann sowohl für die Dichtemessung an Flüssigkeiten als auch für die Feststoffdichtemessung angewendet werden. Entweder muss man die Dichte des Tauchkörpers oder die der Flüssigkeit kennen.

Obwohl auch Aräometer nach der Auftriebsmethode funktionieren, versteht man unter Messung per hydrostatischer Methode ein spezielles Verfahren. Im Gegensatz zu Archimedes’ historischer Methode, die weiter unten besprochen wird, wird nicht „überlaufende Flüssigkeitsmenge“ gemessen, sondern eine direkte Wägung ausgeführt. Eine spezielle Wäge-Vorrichtung hierfür ist die Mohrsche Waage. Bei der hydrostatischen Wägung wird ein Messkörper (= Körper mit genau bekanntem Volumens und Masse, auch als Dichtenormal ) zuerst in Luft und dann in der zu untersuchenden Flüssigkeit gewogen. Die Mohrsche Waage stellt eine apparative Verfeinerung der Methode dar: An einem Waagebalken, der einen Glaskörper an einem Pt-Draht und auf der selben Seite des Waagebalkens einen Satz von (fünf) dekadisch verschiedenen Tariergewichten ("Reiter") trägt, ist zur Nullstellung des Glaskörpersgegenüber ein Ausgleichsgewicht angebracht. Wird der Glaskörper in die zu untersuchende Flüssigkeit getaucht, bestimmt man deren Dichte durch verschieben der Reiter auf der graduierten Skala, an deren Stellung bei Auftriebskompensation die Dichte direkt ablesen werden kann (Die Position der Reiter gibt die Einer-, Zehntel, Hundertstel, ... Stelle der Dichte an). Knifflig und eigentlich nicht mehr verwendbar, ist dieses Instrument bei höher viskosen Flüssigkeiten, da eine Gleichgewichtslage durch das entsprechend verlangsamte Einschwingen kaum einstellbar ist. Die heute verbreitet angewendete hydrostatische Dichtemessung – ebenfalls zumeist mit einem Glaskörper – bedient sich einer elektronischen Waage und erleichtert dadurch die Messung. Die Verdrängungsmethode ist eine Variation zum Archimedischen Prinzip, wobei nicht der Auftrieb am Messkörper, sondern die Gewichtszunahme eines Flüssigkeitsbehälters gewogen wird, der auf einer Wägevorrichtung (Waagschale) steht, während ein Volumennormal eintaucht (auch unter Gammakugel bekannt). Durch die Wägung über das Flüssigkeitsbehältnis wird unmittelbar die durch das Volumen verdrängte Flüssigkeitsmenge ermittelt. Die Wägung zeigt um soviel mehr an, wie das eintauchende Volumen als Probenmenge wiegt.

ISO 901 ISO 758
DIN 51757 Prüfung von Mineralölen und verwandten Stoffen; Bestimmung der Dichte, Verfahren B
ASTM D 941-55, ASTM D 1296-67 und ASTM D 1481-62
ASTM D 1298 Density, specific gravity or API gravity of crude petroleum and liquid petroleum products by hydrometer method
BS 4714 Density, specific gravity or API gravity of crude petroleum and liquid petroleum products by hydrometer method
DIN 53217 Prüfung von Anstrichstoffen; Bestimmung der Dichte; Tauchkörpermethode

Eine speziellere Anordnung, die das Volumenauftriebsprinzip nutzt, ist die Magnetschwebewaage (►Uni Bochum) auch "magnetische Flotation" oder Levitation genannt, die sich dadurch auszeichnet, dass kein Haltedraht den Messkörper trägt. Vom Prinzip wäre dies die genaueste und universtellste Vorrichtung. Denn die Kraft, die sonst unberechenbar an den Aufhängungen wirkt, d.h. der Flüssigkeitsmeniskus über der Phasengrenze, ist die Präzisionshauptvernichtung. Doch gibt es inzwischen auch eine andere, einfache und robuste Lösung, nämlich die ►Meniskuseliminierung. Wägeverfahren sind grundsätzlich vorteilhaft, da Waagen im allgemeinen leicht, rasch und unkompliziert justiert/kalibriert werden können. Die Plausibilität ist einfach darstellbar. Prüfmittelüberwachung, Eichung, Rückführbarkeit sind darum kein Gegenstand von komplizierten Herleitungen.

IMETER-Verfahren wenden mit einigen Verfeinerungen ebenfalls die hydrostatische Methode an: für Flüssigkeiten (►Methode N°8), Feststoffe (►Methode N°9) und in der Viskosimetrie (►Methode N°5). Sie bilden durch Beachtung vieler Details so das  praktisch genaueste und zweifelsfrei richtigste verfügbare Instrument. Als einfacheres, alltagstaugliches Verfahren wurde zur Eränzung noch die schnellste Dichtemessung (►IMETER-AIM) durch einige Vereinfachungen entwickelt; die Messung dauert nur noch wenige Sekunden.

Die weiter unten folgenden Kapitel setzen sich unter verschiedenen Gesichtspunkten mit dieser Messmethode auseinander. Der formelmäßige Zusammenhang für hydrostatische Messungen ist am Ende dieser Seite zusammengefasst.

5.4. Schwingungsmessgerät (Biegeschwinger)

Die Methode beruht auf der Eigenfrequenz eines schwingungsfähigen Systems. Ein bestimmtes Volumen der zu untersuchenden Flüssigkeit ist Teil eines Resonators, wobei also die Schwingfrequenz (f) durch die schwingende Masse festgelegt ist und mit dem festgelegten Volumen eine kalibrierbare Proportionalität zur Dichte (ρ) besteht. Die Beziehung gehorcht der Form  ρ = A · f ^-2 + B.

Veranschaulichung: eine hohle Stimmgabel, die mit Flüssigkeit gefüllt ist, schwingt je nach Dichte der Füllung in verschiedenen Tonlagen.

           DIN 51757 Prüfung von Mineralölen und verwandten Stoffen; Bestimmung der Dichte, Verfahren D., Anforderungen der PTB ^[59]
 

Biegeschwinger sind recht praktische Einrichtungen, insbesondere wegen der einfachen Handhabung und der geringen Probenvolumen. Genauigkeit (Richtigkeit) und Anwendungsmöglichkeiten sind jedoch begrenzt. So können Emulsionen, Suspensionen, ausgasende oder instabile Flüssigkeiten oft nicht richtig gemessen werden. Die Genauigkeit im Sinne von Richtigkeit mit bis zu 5·10^-6 g/cm³ zu spezifizieren, erscheint gewagt. In dieser Auflösung muss auch die Temperatur (organischer Flüssigkeiten) genauer als auf 0.01 Temperaturgrade bestimmt sein. Schwingungsbedingte Strömung, Komprimierung, innere Reibung in der Flüssigkeit (Temperaturerhöhung) und auch evtl. mit-bedingende Umgebungsdichten (Luftdichte) bedeuten nicht-lineare Abhängigkeiten und Verknüpfungen mit anderen unbekannten und Probeneigenschaften. Eine detaillierere Besprechung finden Sie auf dem Übersichtsartikel von Prof. Hradetzky (Hochschule Merseburg).

5.5. Corioliskraft - Dichtemessung

Eine in der technischen Ausführung der Biegeschwinger-Methode manchmal etwas ähnlich anmutende Technik beruht auf der Corioliskraft und findet Anwendung insbesondere in der Prozessmesstechnik:
Die Coriolisbeschleunigung (nach dem frz. Physiker C.G. De Coriolis, 1792-1843) ist eine scheinbare Beschleunigung, die eine bewegte Masse (m) aus ihrer Bahn ablenkt, wenn ihre Bewegung (v) durch Trägheitskräfte an die Rotationsbewegung (ω) eines Bezugssystems gekoppelt ist. Die Trägheitskraft = Corioliskraft (F_c)  wird senkrecht zur Bewegungsrichtung der Masse und zum Rotationszentrum angegeben (F_c=2·m·v×ω).
Alltägliche Beispiele zur Corioliskraft: Foucaultsches Pendel; Nordostpassat der nördlichen Hemisphäre; dem Gegenüber auf einem Karussell einen Ball zuwerfen.
Zur Messung von Dichte (und Durchfluss) wird technisch die Rotation durch eine Schwingungsbewegung einer U-Rohrschleife oder auch durch ein gerades Rohrstück ersetzt. Bei der U-Schleifenform führt die erzwungene, zur Bogenebene senkrechte Schwingung zu einer Torsion des U-Stückes und zwar wegen der in beiden Schenkeln gegensinnig strömenden Masse und damit gegensinnig wirkenden Corioliskräfte (eine Seite wird hochgebogen die andere hinab). Verformung, Fliessgeschwindigkeit, Rohrvolumen etc. erlauben eine kalibrierbare Beziehung zur Mediumdichte aufzustellen.

Hinsichtlich der Korrektheit sind ähnliche Einschränkungen einschlägig wie beim Schwingungsmessgerät.

(Eine schöne Ausarbeitung, insbesondere im Hinblick auf die Durchflussmessung, bietet Roland Steffen in einer Projektarbeit unter http://www.rolandsteffen.de/Corioliskraft.pdf)

5.6. Sonstige Methoden

Grobe Methoden (Such- oder Übersichtsmethoden bzw. "π-Mal-Daumen"): 

Schlierenmethode: Ob bei fraglich gleichen, gleichdichten, transparenten Flüssigkeiten ein Dichteunterschied vorhanden ist, kann durch leichtes Mischen oder Rühren geprüft werden. Es bilden sich durch Unterschiede der Brechungsindizes Schlieren, die eben auch Dichteunterschiede anzeigen. Solch einen Effekt kennt man z.B. von Wasser, das erhitzt wird, wobei die sich kräuselnden Schlieren die dichtebedingte Konvektion anzeigen.

Hohlkörperwägung: Man wiegt das Flüssigkeitsvolumen in einem Standzylinder (Fehler 1-5%) oder noch etwas genauer, in einem bis zur Eichmarke gefüllten Meßkolben (grob pyknometrisch).

Wägung regulärer Körper: Für die Schätzung der Festkörperdichte stellt man einen regelmäßigen Körper her, etwa einen Quader, einen Würfel, einen Zylinder oder eine Kugel, wiegt diesen und bestimmt das Volumen geometrisch, z.B. mit einem Lineal. ASTM C 559-90 gibt eine entsprechende Anleitung für Körper aus Carbon oderr Graphite.

Quasi pyknometrisches Verfahren für Festkörper: Man wiegt einen mit Flüssigkeit bekannter Dichte bis zur Eichmarke gefüllten Standzylinder, indem der Festkörper untergetaucht ist. Oder, so ähnlich, indem der Anstieg des Meniskus an der Glaswand in einem Standzylinder mit dem Eintauchen der Probe abgelesen wird.

Überlaufmethode (klassisch Archimedes): Man wiegt den Körper, dann gibt man ihn in ein randvoll gefülltes Gefäß. Die überlaufende Wassermenge wird aufgefangen und gewogen. Die Menge in Gramm entspricht dem Körpervolumen in Millilitern (https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedisches_Prinzip).

Hydrostatischer Druck: In ausreichend hohen Zylindern (auch z.B. bei Vorrats-Silos) oder mit entsprechenden Drucksensoren (p) bzw. einer Waage (W) und der Stirnfläche (A) kann die Dichte aus dem hydrostatischen Druck (ρ·g·h) bestimmt werden (h ist die Einfüllhöhe im Silo; ρ = p/(g·h) bzw. per Waage  ρ = W/(A·g·h).

Schwebeverfahren: Ein Körper schwebt in einer Flüssigkeit, wenn die Dichten von Körper und Fluid identisch sind. Mit (halogenierten) organischen Flüssigkeiten oder Salzlösungen können Schwereflüssigkeiten mit Dichten von bis über 4g/cm³ dargestellt werden. Die Dichtebestimmung erfolgt, indem durch entsprechende Mischung oder Konzentration das Schweben des Feststoffes nahezu erreicht ist. Das eigentliche Schweben wird durch die Temperatur eingestellt (kann aber auch durch Druckmanipulation erfolgen). Je nach dem, was bekannt bzw. gesucht ist, spielen die Variablen Dichte und Wärmedehnung (und Kompressibilität) der beiden Stoffe hier zusammen. 

Titrationsverfahren: Der Festkörper wird in ein Gefäß gegeben, dann gibt man eine Flüssigkeit zu - der Körper schwimmt oder liegt am Gefäßboden. Dann wird soviel andere mischbare, inerte Flüssigkeit oder ein lösliches Salz zugegeben, bis der Körper schwebt (ein Schwebeverfahren also). Die Flüssigkeit hat dann die gleiche Dichte wie der Festkörper, wodurch die Flüssigkeitsdichte dann beispielsweise hydrostatisch bestimmt werden kann. (Genauer: DIN EN 1183-1)

Dichtegradientensäule: In einem Standzylinder werden vorsichtig zwei mischbare Flüssigkeiten übereinandergeschichtet. Es bildet sich ein Dichtegradient aus. Mittels farbiger Glaskugeln, deren Dichte genau bestimmt und anhand deren Farbe die Zuordnung erfolgt ist, wird das jeweilige Schwebeniveau markiert und einem Dichtebereich zugeordnet. So kann die Dichte einer zu prüfenden nichtmischbaren Flüssigkeit durch deren markierten Schwebebereich eines Tropfens oder bei Feststoffen durch ein Granulatkorn zugeordnet werden. Auf diese Weise werden bevorzugt Feststoffe geprüft; z.B. Polyethylen in einem Methanol/Wasser-Gradient. 
Ferner gibt es Verfahren, die über die Schwächung von Kern- oder anderer Strahlen, der Materialstärke und der Massenschwächungskoeffizienten Dichteangaben liefern. Und die makroskopische Dichte kann aus kristallographischen Daten, d.h. aus den Abständen der Atome im Kristallgitter und mit dem Formelgewicht als ideale Dichte bzw. theoretische Dichte, ermittelt werden.

5.7. Absolut-Verfahren, die genaueste Methode und Bemerkungen dazu: 

Um die Dichte metrologisch korrekt und rückführbar auf die internationalen Normale für Länge und Masse zu bestimmen, wird ein extrem regelmäßiger Körper wie eine Kugel (oder Kubus) hergestellt. An einer solchen Kugel kann die geometrische Rundheit (interferometrisch) geprüft und spezifiziert werden. Das Volumen ist durch den Durchmesser genau bestimmt. Zusammen mit der exakten Massebestimmung erhält man so ein metrologisches Artefakt als Dichtenormal. Damit kann die Dichte einer Flüssigkeit durch den hydrostatischen Volumenauftrieb mit dementsprechender Genauigkeit eigentlich exakt ermittelt werden. Das Hauptproblem bei der hydrostatischen Wägung besteht jedoch in der Aufhängung. Man könnte noch so genaue Kugeln herstellen, es bliebe der Mikroliter, der durch den wandelbaren Meniskus in der Flüssigkeitsoberfläche kapriziert. Es wurden dazu bereits verschiedene Anstrengungen unternommen, z.B. die Anwendung besonders behandelter Aufhängedrähte (Platinschwarz,  [NRLM, Japan] oder besonders oxidierte Kupferdrähte [NPL, Indien]). Es wurde sogar schon Tensid dem Wasser zugefügt (NML, Australien), um diesen Störeinfluss in den Griff zu bekommen ([Lit.44], S.62) – offenbar ohne zweifelsfreien Erfolg. Für die genaue Auftriebsmessung ohne Meniskusproblem wurde daher die Methode "magnetische Flotation" entwickelt. Bei der magnetischen Flotation gibt es keine mechanische Aufhängung, doch muss der Dichtemesskörper magnetisch sein. Der Messkörper ist von geringerer Dichte und wird durch einen Elektromagneten unter der Flüssigkeitsoberfläche gehalten. Der Spulenstrom des Elektromagneten ist dann das Maß für den kompensierten Auftrieb des Messkörpers (vgl. PTB news 2007/3) und mithin das Maß der Dichte der Flüssigkeit. Mit dem so möglich gewordenen Wiegen durch eine Gefäßwand hindurch sind Druck und Gasatmosphäre frei einstellbar und ohne Aufhängung gibt es keinen Wärmetransport über dieselbe. Es ist insgesamt sicher nicht einfach, dieses Verfahren für den Anwendungsbereich mit höchsten Genauigkeitsanforderungen verwendbar zu machen.

Die Messunsicherheit wird für Reinstwasser mit 1·10^-6 g/cm³ angegeben, die Wiederholbarkeit betrage 2·10^-7 g/cm³.
   

Die von IMETER angebotene Lösung nimmt sich dagegen technisch relativ wenig anspruchsvoll und robust aus. Die Skizzen zeigen das Prinzip: Die Kugel wird über einen Lastträger angehoben, in dem die (temperierbare) Messzelle abgesenkt wird. Dies wird über die zwei Positionier-Stufen bewerkstelligt (W1, W2, links in der Animation). Zu W1 wird ein Wägewert aufgezeichnet, wobei der Aufhängungsdraht bereits ein Stück weit durch die Flüssigkeit nach oben bewegt ist, die Kugel durch das Gestell aber noch nicht angehoben wird. Am Suspensionsdraht ist dabei bereits ein rückwärtiger Kontaktwinkel. Dann wird die Messzelle weiter abgesenkt und die Kugel über den Halterahmen vom Sockel gehoben und gewogen (W2). Der rückwärtige Kontaktwinkel ist an dieser Stelle der selbe. Die Differenz von W2 und W1 enthält genau - und ohne systematische Fehler - die Dichte (abzüglich des Volumens des bei W2 nicht mehr tauchenden Suspensionsdrahtstückes). Einzelheit und Varianten zu dieser IMETER-Methode finden sich in der Patentschrift DE 103 40 555 und unter Meniskuseliminierung.

Für die Messung der Feststoffdichte kann diese Technik mit dem IMETER-Gerät in gleicher Weise angewendet werden. Sie stellt offenbar die überhaupt genaueste Feststoffdichtemessung und Volumenbestimmung an Körpern dar - zumindest an Körpern, die von nicht-vollkommener Geometrie sind. Für Vielseitigkeit [Temperatur, Zeit, Umgebung], einfache Bedienung [Anleitung] und Sicherheit durch Mittelwerte sorgt das IMETER-Framework. Kombiniert mit der alternierenden Messung von Proben- und Flüssigkeitsdichte werden Sicherheit und Genauigkeit der Messung vervollkommnet (vgl. Feststoffdichte, alternierende Messung).

Noch der Hinweis: Es ist durchaus möglich die (IMETER-Standard-)Wägeeinrichtung unter anderen Atmosphären und Drücken zu betreiben. Schlußendlich kann die exaktest herstellbare Kugel mit entsprechend großem Volumen und den anderen, am definierten Körper bestimmbaren Proportionen (Ausdehungskoeffizient) eine sehr viel höhere Genauigkeit ermöglichen. Eine Messunsicherheit von 1·10^-6 g/cm³ ist gewiss keine Grenze.

6. Präzision, Abhängigkeiten, Einflüsse & Störungen

Temperatur: Die Präzision jeder Dichtemessung wird durch die Genauigkeit und Richtigkeit der Temperatureinstellung bzw. -messung überaus gravierend bestimmt. Insbesondere organische Flüssigkeiten haben mitunter sehr große Ausdehnungskoeffizienten, oft auch über 100 [10^-5/K]. D.h. pro Grad ändert sich die Dichte um 0,001g/cm^³, so dass für Messauflösungen um oder feiner als 10^-4g/cm³ die Ablesbarkeit eines Thermometers mit Zehntelgrad Skalenteilung ungenügend ist. Eine Temperaturanzeige mit der Ablesbarkeit ganzer Temperaturgrade bedeutet - je nach Ausdehnungskoeffizient  z.B. bei Pentan einen unvermeidlichen Mindestfehler von 0.3% (Pentan: ρ_20°C= 0,6215 [g/cm³] k » 160 [10^-5/K]). Ein auf 1/100 Grad anzeigender und justierter Temperaturfühler erlaubt bzgl. der Temperatur bei Pentan die Genauigkeit von ±0.003%, bei Wasser hingegen ±0.0002%. Es ist so unmittelbar verständlich, dass ein Pyknometer hinsichtlich konstanter Temperierung eher schwierig zu handhaben ist, ebenso aräometrische Messungen in einem einfachen Standzylinder. Damit können diese Methoden wegen des Umstands der Temperaturmessung und -sicherstellung die Dichte nur recht begrenzt anzeigen. Bei ausgedehnten Volumen kommt noch hinzu, dass sich spontan Temperaturgradienten bilden. Sofern  Dichtemessgeräte über eingebaute Temperierung und Temperaturmessung verfügen, muss diese auch korrekt sein. Andernfalls ergibt sich eine Schiefe der Anzeige, wenn, wie üblich, mit Wasser kalibriert wird, aber z.B. Kohlenwasserstoffe gemessen werden.

Gasblasen: Die praktische Hauptfehlerquelle aller Methoden besteht insbesondere darin, dass Gasbläschen auftreten, die eingeschlossen werden (Pyknometer, Biegeschwinger), am Mess- oder Prüfkörper anhaften (hydrostatische Wägung) oder in der Flüssigkeit vorliegen bzw. ausgasen.

Unvollständige Messprinzipien, Prinzipunschärfe bzw. -fehler: Der Bezug einer Messgröße, wie der Dichte, ist ein normaler, ungestörter Zustand. Aus diesem Normalzustand mit seinem Normalwert wird über physikalische Beziehungen (Kompressibilität, Wärmedehnung) das Verhalten unter anderen Umgebungsbedingungen berechenbar. Wenn ein Messgerät selbst durch Strömung, Kompression oder Dissipation (durch Schwingung) einen Eingriff in die Bezugs-Ruhelage verursacht, dann kann es in Vollständigkeit nur Aussagen über den Stoff erlauben, mit dem es kalibriert bzw. justiert oder geeicht ist. Die Präzision ist dadurch definitiv endlich und die Diskrepanz der Anzeige einer unbekannten Probe zum wahren Wert mehr oder weniger klar. Schwingungsmessgeräte, Corioliskraft-Dichtemesser etc. liefern, anders als die hydrostatische Methode, mit der Verbesserung der Sensoren eben keine  besseren Ergebnisse. Eine Viskositätskorrektur (Viskosität - bei welcher Schergeschwindigkeit?) korrigiert die gröbsten Störungen zwar, doch die Sicherstellung einer korrekten Dichteanzeige bei einem Messprinzip, das weitere Stoffeigenschaften betrifft (Querempfindlichkeit), ist lediglich begrenzt verlässlich.

Phasengrenzen: Meniski - hydrostatischen Wägung: Bei der hydrostatischen Wägung, abgesehen von der Magnetschwebetechnik, ist der Meniskus an der Messkörperaufhängung bei den üblichen Geräten einschließlich der Mohrschen Waage ein echtes Problem (vgl. Abschnitt oben, Absolut-Verfahren). Warum ist diese Meniskuskraft so ungeheuer bedeutend?

Dazu ein einfaches Beispiel: Man denke sich einen von einem 0,2 mm dicken Draht gehaltenen Körper mit dem Volumen 10mL, der in eine Wasserprobe eintaucht, d.h. also einen Aufbau, wie traditionell und bis dato die Dichte gemessen wird. Je nachdem, wie der Messkörper eingesetzt wird, wie rein das Wasser und wie sauber der Draht ist, kann man an der Stelle, an welcher der Draht die Flüssigkeitsoberfläche durchsticht, sehen, dass das Wasser am Draht wulstförmig etwas hinauf gezogen wird oder mehr oder weniger rechtwinklig an dem Draht anlangt. Ist der Draht ein frisch ausgeglühter Platin-Draht, das Wasser sehr sauber, so dass die Wasser-Oberflächenspannung korrekt vorliegt, und wird der Körper so eingesetzt, dass am Draht der reguläre Kontaktwinkel der vollständigen Benetzung (0°) anliegt, darf man erwarten, dass die hier wirkende Kraft, d.h. die Meniskuskraft, 4.6 mg beträgt.

Überschlägige Berechnung: γ = F·cos(ϴ) / U  (vgl. Wilhelmy-Methode: Die Oberflächenspannung (γ) entspricht der Meniskuskraft (F) und dem Kontaktwinkel (ϴ), bezogen auf den Drahtumfang (U). Umgestellt und mit cos ϴ = 1 [vollständige Benetzung] ergibt sich mit F=m·g, eine Meniskuskraft bzw. -Masse von 
m=F/g = γ/ (U·g) = (γ·2·π·r) /·g = (72[mN/m]· 2· 3.14· 0.1[mm])/ 9.81[m/s²] = 4.6 [mg]

Normalerweise wird der theoretische Wert für die Kalkulierbarkeit des Oberflächenspannungseffektes nicht erreicht, da Luftverunreinigungen und Tensidmengen bereits im ppb-Bereich die Oberflächenspannung deutlich herabsetzen können. Und bei irregulärem Kontaktwinkel oder bei unsauberem Draht - etwa durch Adsorbat aus der Luft oder Fingerfett - kann die Meniskuskraft auch negative Werte annehmen. –  Wird dieser normalerweise unbekante Beitrag von 4.6 mg nicht berücksichtigt, ergibt sich für eine Flüssigkeit mit der Dichte von 1 g/cm³  bereits eine Abweichung von -0.0005 g/cm³, was einem 'Fehler von 0.05% entspricht. Welche Informationen bei Messauflösungen besser als "0.0005 g/cm³" (5.0E-04) zu Tage treten, zeigt das folgende Diagramm eindeutig.

Messungen an verschiedenen Wässern bei 25, 30 und 37°C  (aus der Anfangszeit der Entwicklung). Für jeden einzelnen Wert ist die Abweichung zu destilliertem Wasser gegen die Messdauer angetragen. Während der gut viertelstündigen Pause wurde jeweils temperiert und am Ende die Wägezelle automatisch justiert. Die Unterschiede sind hier offensichtlich signifikant und mit anderen, vergleichbar einfachen Methoden, in der Regel unsichtbar. Die Wässer könnten z.B. durch den Mensikusfehler im Zeitverlauf nicht sicher zu unterschieden sein.

Luftdichte: Weiterhin ist die Veränderlichkeit der Umgebungsdichte bzw. Luftdichte zu berücksichtigen. Sie wirkt sich bei der hydrostatischen Wägung unmittelbar aus. Anhand der weiter unten angegebenen Gleichungen kann der Einfluss der Luftdichte auf die Messung der Feststoff- und Flüssigkeitsdichte formal entnommen werden. Das nachfolgende Diagramm zeigt den auf Normalwerte (p°=101,3kPa, 0°C) hochgerechneten Luftdichteverlauf an einem Tag mit Wetterumschwung: 

Die Luftdichte kann direkt durch Wägungen eines offenen, dann geschlossenen und evakuierten Holkörpers (Gasmaus) ermittelt werden. Sie kann einfacher aus Temperatur, Luftdruck und Luftfeuchte berechnet oder durch die Wägung eines Massestücks bestimmt werden. 

Fallbeschleunigung: Im Verlauf eines Tages ändert sich an einem Ort die Fallbeschleunigung durch die Gravitationseinflüsse von Mond und Sonne – die Gezeitenamplitude – und zwar in der Größenordnung von 1·10^­-6 m/s² ^{[Lit.1, S.191]}. Das IMETER-Framework enthält einen integrierten Assistenten für die Bestimmung der Fallbeschleunigung. Mit der zeitnahen Justierung der Wägezelle - d.h. die automatische Auflage des Justiergewichts - kann auch dieser, normalerweise unbedeutende Einfluss, eliminiert werden.

Alterung, Drift: Aräometer, Pyknometer und Mohrsche Waage sind Geräte, die in der Regel nach Jahren in der Schublade noch funktionieren. Die Messwertanzeige elektronisch arbeitender Geräte bleibt jedoch zeitlich nicht konstant. Der Nullpunkt driftet oft schon in kürzeren Fristen mit der Temperatur der elektronischen Bauteile und über größere Zeiträume verliert sich die Kalibrierung durch allgemeine Drift- und Alterungseffekte. Die Präzision und Richtigkeit einer Messung kann durch eine zeitnahe Justierung bzw. Kalibrierung einer Waage sichergestellt werden. Eine Technik, die Sensorkalibrierung sicherzustellen und die Nullpunktsdrift automatisch und mit Gewissheit auszuschließen, besteht bei der hydrostatischen Wägung (mit IMETER) darin, die Justierung der Wägezelle (die innerhalb einer Messung erfolgen kann) durchzuführen und die Messung der Auftriebskraft als Differenzkraft von zeitnaher gemessenen Lastunterschieden darzustellen. So kann - wenn physische Veränderungen des Messkörpers ausgeschlossen sind - die Korrektheit in extremer Auflösung, über beliebige Zeiträume gewährleistet werden. Und eine Waage als Hauptsensor ist natürlich auch sehr einfach zu überprüfen.
 

7.1. Meniskuseliminierung:

Die Meniskus-Eliminierung ist der Vorgang, in dem der Messfehler bei der hydrostatischen Dichtemessung behoben wird. Der in statischen Messungen unbehebbare Fehler besteht darin, dass der Einfluss des  Flüssigkeits-Meniskus durch die Aufhängung des Messkörpers nicht genau bestimmbar ist. Jedoch in einem Verfahren, d.h. einem Handhabungsprozess, kann dieses allgemeine Problem der Phasengrenzen aufgelöst werden.

IMETER bietet zwei Varianten zur Lösung:

1. Explizite Vor- oder Nachbestimmung der Korrektur:
Das Aufhängungsmittel wird austariert, dann bis zu einer Marke an der Suspension in die Flüssigkeit eingeführt und um eine definierte Strecke zurückgezogen (um einen rückwärtigen Kontaktwinkel in der Phasengrenze zu erzeugen). Die hier auftretende Gewichtskraft wird bestimmt. Sie beinhaltet den Auftrieb der Halterung und die Meniskuskraft in der Messposition. Diese Korrekturkraft wird vom Kraftmesswert bei der Feststoff- bzw. Flüssigkeits- Auftriebsmessung abgezogen.

2. Implizite Auslöschung ("Die Meniskuseliminierung"):
Mess- oder Prüfkörper oder Probenbehälter werden untergetaucht, auf einem Boden abgestellt oder ausgehängt bzw. aus dem Haken gehoben, indem das Gefäß durch die Positioniervorrichtung angehoben wird. Die Bildsequenz unten zeigt das Prinzip. Tarieren und Messen (3. und 4. Bild) findet mit gleichen, rückwärtigen Kontaktwinkeln statt. Das Drahtstück, das beim Messen gegenüber dem Tarieren austaucht, wird natürlich berücksichtigt. Die Dichtemessung ist in diesem Fall eine Differenzmessung.

Mit dem Tarieren werden noch andere Störungen eliminiert, wie die Drift des Nullpunktes der Wägeeinheit, schleichende Verschmutzung oder Kondensation von Flüssigkeitsdampf an der Aufhängung und auch der Effekt durch variable Flüssigkeitsniveaus bzw. Eintauchtiefen.

Welches Verfahren zum Einsatz kommen soll, richtet sich nach den jeweiligen praktischen Erfordernissen. Das explizite Verfahren kann für rasche Einzelmessungen mit geringeren Präzisionsansprüchen geeignet sein, Verfahren 2 für Messungen mit höherem Präzisionsanspruch sowie für länger währende Messungen und Monitorings.

Erläuterung zu "ohne systematische Fehler"

Der Fehler der Auftriebskraftmessung, wie er durch den Meniskus nach traditioneller Technik auftritt, wird in dem Diagramm unten gezeigt; er entspricht darin dem Kraftsprung insgesamt. Mit der neuen Technik wird der Sprung zunächst verkleinert und schließlich ganz ausgelöscht:

Zur Skizze: Wenn man einen benetzbaren Draht einer Wasseroberfläche annähert, dann springt am Berührpunkt die Flüssigkeit diesen an – es entsteht ein Meniskus, der am Draht zieht. Taucht man den Draht weiter ein, dann gleitet das Wasser etwas unregelmäßig über die Drahtoberfläche; mal wiegt dieser Meniskus etwas mehr, mal weniger. Denn der Vorrückkontaktwinkel ist auf nicht-vorbenetzter Oberfläche oft ungleichmäßig. Der Auftrieb, der auf den Draht wirkt, nimmt mit zunehmender Eintauchtiefe zu. Dadurch fällt die Kraft letztlich kontinuierlich ab (die Kurve geht nach unten, denn der Volumenauftrieb entlastet das Anfangsgewicht). Zieht man den Draht heraus - die Kurve kehrt um - und  es fließt das Wasser von der vorbenetzten Drahtfläche ab, ist der Kraftverlauf wesentlich gleichmäßiger. Für die Dichtemessung ist nun der kleine Abschnitt ΔS_k , zwischen Tarieren und Messen, von Einfluss. Dies entspricht, übertragen, dem Stadium, in dem der Messkörper abgestellt ist (mit rückwärtigem Kontaktwinkel am Draht) und der Messposition, in welcher der Messkörper wieder anhängt und der Auftrieb gewogen wird.

Nun, mit dem Drahtquerschnitt, der Bewegungsstrecke und der Dichte (in Rekursion ermittelt) ist der kleine Beitrag ΔF_k vollständig bestimmt. Diese Kraft wird berechnet und zur Korrektur der Auftriebskraft des Messkörpers verwendet. Der Fehler ist damit behoben. Es bleibt für die Ausgestaltung im konkreten Setup einer Messapparatur frei, inwieweit die gleichwohl durch die Doppelwägung entstehende Unsicherheit reduziert wird. Grundsätzlich sollte aber der Draht so dünn, so glatt und so gleichmäßig wie möglich und die Phasengrenze der Flüssigkeit homogen sein.

7.2 Mittelwerte

Bei einem einzelnen Messwert kann besonders bei einer unbekanten Probe die Messunsicherheit aus den Daten der beteiligten Sensoren und der Qualitätseinschätzung zur Temperierung abgeleitet werden. Ob die Messung durch einen Fehler beeinträchtigt ist, kann sich aus einem einzelnen Messwert nicht ableiten lassen. - IMETER bietet neben der richtigen Verfahrensweise und Ausrüstung auch die Softwaretechnischen und ideellen Hilfsmittel für die Steigerung von Qualität und Sicherheit an. Die Eliminierung von Meniskus und Zeiteffekten ist ein Teil, die Möglichkeit der Messung in unabhängigen Mittelwerten ein anderer. Unabhängige Mittelwerte werden gemessen, indem der Messprozess mitsamt der Meniskuseliminierung wiederholt wird. Die Software unterstützt dies direkt und übrigens auch unter Variation der Positionen, der Temperatur, der Probensubstanz etc..

Mittelwert und Standardabweichung sind die zentralen Eingangsgrößen zur Beurteilung der Qualität einer Messung. Die Leistungsdaten der Sensoren selbst sind unbedeutend, wenn die Probe aufgrund ihrer Konstitution (Mehrphasigkeit, Inhomogenität, Stabilität) nicht eindeutig vorliegt. Fehler z.B. durch Luftblasen, eine unvollständige Temperierung oder Zufälligkeiten fallen mit der Beobachtung mehrerer Messwerte aus dem Verlauf der Einzelwerte auf.

In Wiederholungsmessungen möchte man für die richtige Statistik, die Wiederholstandardabweichung und die Findung des wahren Wertes, ja genau nicht die Schwankungsbreite der Bedienvariationen der Prüfer sondern die der Messung haben. Das wird so erledigt. In der Prozess-Steuerung kann genauso, wie das Aushängen der Messkörpersuspension erfolgt, die Auflage eines (weiteren) Justiergewichtes eingerichtet werden. Es kann auch ein Massekomparator eingesetzt werden.

7.3 Alternierende Flüssigkeits und Feststoffdichtemessung

Eine datentechnische Automation ermöglicht bei der Feststoffdichtemessung einen weiteren Effekt für die Erhöhung von Qualität und Richtigkeit. Wenn Flüssigkeitsdiche und Feststoffdichte evtl abwechselnd gemessen werden, dann wird die mit einem Messkörper gemessene Flüssigkeitsdichte (sie ist ja für die Auftriebsmessung der Feststoffprobe maßgeblich) für die Feststoffdichtemessung als Massstab verwendet. Es muss also nicht eine bestimmte Flüssigkeit mit vorbekannter Dichte eingesetzt werden - jede beliebige Flüssigkeit kann so verwendet werden. Und wenn die Feststoffprobe mit der Flüssigkeit reagiert, wird dies an der Änderung der Flüssigkeitsdichte erkennbar. Im Prinzip findet durch dieses Verfahren die Übertragung der Kalibrierung, d.h. der Normaleigenschaft des Flüssigkeitsdichte-Messnormals auf die Probe statt. Deren Dichte ist dann nahezu so genau bestimmt, wie die des Normals. Es handelt sich bei diesem oft im Hintergrund ablaufenden Verfahren, um eine automatische Rückführung auf das Messnormal, aus dem sich die Messkörpereigenschaft herleitet. Der Messkörper sollte an ein Normal angeschlossen sein.

7.4 IMETER Framework

IMETER ist ein Werkzeug, das den Zugriff auf die Stoffeigenschaft „Dichte“ durch allgemeine und universelle Anwendung der hydrostatischen Methode für die Dichtebestimmungen und Dilatometrie an flüssigen und festen Stoffen zur Verfügung stellt. 

• Es werden alle effektiven Einflussgrößen berücksichtigt.
• Die Einflussgrößen können mit dem MessSystem bestimmt werden (Luftdichte, Absolute Dichte).
• Dichte und Ausdehnungskoeffizienten können zusammen in einer Messung bestimmt werden.
• Die Ergebnisse sind rückführbar auf gesicherte Normale.
• Die Ergebnisausgabe erfolgt in Echtzeit und kann zur Online-Regelung verwendet werden
• Da die Prozesssteuerung einen Zugriff auf Erfahrungswerte bietet, können auch bestimmte Dichten eingeregelt werden (Dosierung, Temperatur, Druck).

Zum Erreichen des Optimums im Spannungsfeld von Aufwand und Präzision stehen innerhalb der frei modellierbaren Abläufe verschiedene Arbeitsmodi zur Verfügung. So können Zubehör und Arbeitsabläufe auf die Fragestellung genau angepasst werden.

• Messprogrammkonzept - (Messablaufvarianten, Dialogelemente zur Unterstützung des Prüfers etc.).
• Meniskuskraft-Korrektur durch experimentell vor- und/oder nach-bestimmbare Beträge.
• Meniskuskraft-Eliminierung durch ein spezielles Verfahren (ohne systematische Fehler!).
• Driftkompensation und Justierung während der Messung (...auch auf Dauer genauer).

Für Anwendungen der Flüssigkeitsdichtemessung kann das Absolut-Verfahren angewendet werden. Die Viskosität ist ohne prinzipiellen Einfluss, wie auch optische, elektrische und - unter Einschränkungen - magnetische Eigenschaften; die Probe kann instabil sein und als Emulsion, Suspension oder Gel vorliegen. Aus Dichtewerten kann die Kinetik von Vorgängen erhalten werden, die die Dichte der flüssigen Phase selbst oder die Messung der Dichte beeinflussen, wie etwa Temperaturangleichung, Sedimentation, Koagulation, Ausfällung, Kristallisation, Aufrahmung, Auflösung oder allgemein Konzentrationsänderung und Stoffumsatz. Darüberhinaus bietet die IMETER-Dichtemessung auch die Möglichkeit zur Kalibrierung der Temperaturmessung im Millikelvinbereich.

IMETER ist ein formales und freies System, welches beachtliche Teile der Eigenschaftsmessung und Werkstoffprüfung umfasst. Anwender haben sogar die Freiheit, selbst Zubehör und Handhabungen (z.B.) der Dichtemessung so einzustellen, wie Zwecke es im Wandel der Zeit und der Aufgaben erfordern. Sprachelemente der Steuerung und technische Einrichtungen des Gerätes erlauben quasi jede denkbare Anwendung in Labor oder Betrieb mit geringem Aufwand auszurüsten. Die automatische Nullpunktnachführung, die Justierbarkeit während längerer Messungen, die Verhinderung systematischer Fehler (Meniskuskraft-Eliminierung) sowie die Unabhängigkeit von der Temperatur und die automatische Ermittlung des individuellen Messfehlers – sich ergebend aus Auflösung, Messkörperdaten, Messdaten und Probeneigenschaften etc. – sind Merkmale der Technik, die für eine grundlegende und nachhaltige Lösung stehen.

8. Formeln zur hydrostatischen Dichtemessung

Die Definitionsgleichung der Dichte lautet :

      ρ = m / V

Die einfache Formel drückt als Dichte das Verhältnis von Masse zu Volumen bzw. die Konzentration von Masse in einem Volumen aus. Die hydrostatische Dichtebestimmung besteht im Prinzip aus zwei verschiedenen Messungen. Der Messung der Masse und die Messung des Volumens; letztere ist im eigentlichen Sinne die hydrostatische Messung.
Das nachfolgende Bild zeigt die fundamentalen Verhältnisse bei der hydrostatischen Wägung zur Bestimmung der Dichte einer Flüssigkeit:

Z.B. mit einer Federwaage kann man die Gewichtskraft F₁ bei Wägung an der Luft und F₂ bei der getauchten Wägung bestimmen. Wägewerte, W, die an üblichen Waagen abgelesen werden, sind Gewichtskräfte. Mit dem Ortsfaktor g (Fallbeschleunigung) erhält man die jeweilige Gewichtskraft der Masse (F_G=m·g). Das Volumen der Masse führt wie in der Flüssigkeit so auch in der Luft zu einer Auftriebskraft (F_A, _Luft = ρ_Luft·V·g). Über die oben gezeigten Gleichungen für F₁ und F₂ liefert Gleichung I eine korrekte Formulierung für die Bestimmung der Flüssigkeitsdichte:

 (Gl. I)

Hier muss die Masse des Auftriebskörpers (Festkörpers, Messkörpers) nicht bestimmt sein. Mit V = ΔW / Δρ  ist bei bekannter Flüssigkeitsdichte auch die unmittelbare Volumenbestimmung eines Körpers möglich.

Soll die Dichte über längere Zeit hinweg - und exakt - gemessen werden, so sind W₁ und W₂ nicht mehr miteinander vergleichbar, da sich die Luftdichte geändert haben kann (vgl. Diagramm weiter oben zur Luftdichteschwankung). Außerdem ist es in der Praxis unnötig mühsam und fehleranfällig, den Messkörper jedesmal vorher zu wiegen. Besser ist es, man hat Masse und Volumen des Körpers und kann jeweils den Wägewert zur jeweiligen Luftdichte berechnen. Auch ist es schwierig in der Gleichung I notwendige Korrekturen etwa durch die Aufhängung, die Kompressibilität und bei Temperaturänderung unterzubringen.
Wie kommt man an die Masse? Auch wenn elektronische Waagen mg/g/kg -Masseeinheiten anzeigen -  eine Wägung liefert einen Wägewert. Nur im Vakuum sind Schwere und Masse äquivalent. Die Balkenwaage ist eine sehr geeignete Einrichtung, um auch hier das Grundsätzliche zu klären: Die Balkenwaage ist im Gleichgewicht, wenn auf der linken und rechten Seite die gleiche Gewichtskraft wirkt; dazu die folgende Skizze mit Gleichung:

m_cal·g – ρ_Luft·V_cal·g   =   m·g - ρ_Luft·V·g                        (Gl. IIa)

Im Gleichgewicht ist die Kraft auf der linken Seite des Wägebalkens (F=m·g ), unter Wirkung des Luftauftriebs (F_a= ρ_Luft·V·g), gleich der Kraft rechts. In der Gleichung IIb wird g gekürzt, das Körpervolumen V durch die Dichte ersetzt (V=m / ρ) und die Masse vor die Klammer gezogen:

m_cal ( 1 – ρ_Luft /ρ_cal)  =   m (1 - ρ_Luft/ρ)                       (Gl. IIb)

(Gl. IIc)

In Gleichung IIc steht der Kalibrierstandard mit dem Gewicht W_cal, der Masse m_cal, der Dichte ρ_cal mit dem Gewicht W, der Masse m und der Dichte ρ der Objektwägung im Gleichgewicht. W_Tara ist der Wägewert ohne Objektauflage. Wenn W_cal=m_cal und der Leer-Wägewert W_Tara  auf Null gesetzt ist, ergeben sich daraus ebenfalls die übersichlicheren Gl. III und IV:

 

                und                  (Gl. III, Gl. IV)

 

Die Gleichungen erlauben die Umrechung zwischen Masse- und Wägewertangaben. Um die Masse (m), d.h. die wahre Masse angeben zu können, müssen neben dem Wägewert und der Dichte des Wägegutes (ρ d.h. ρ_FK)  auch die Luftdichte (ρ_Luft) und die Dichte des Kalbriernormals (ρ_cal) der Waage bekannt sein. Der einzusetzende Dichtewert ρ_FK ist bei Feststoffen die Rohdichte, die inklusive des für das Medium (Luft) unzugänglichen Porenvolumens bestimmt ist.